지향성 스피커의 과학 #06 — 공기가 스피커가 되는 마법: PAA 비선형 음향

2편에서 예고했던 약속을 지킬 시간입니다. 지향성 스피커의 심장 — 파라메트릭 어레이(Parametric Acoustic Array, PAA)를 본격적으로 다룹니다. '공기가 스피커가 된다'는 표현이 어떤 물리에서 나오는지, 이번 편에서 원리를 세우고 다음 편에서 수식으로 확인합니다.

1951년 런던의 우연 — Westervelt의 발견

1951년 런던, 물리학자 피터 웨스터벨트(Peter J. Westervelt)는 강력한 초음파 빔 사이에서 의도하지 않은 가청 주파수가 발생하는 현상을 목격합니다. 들리지 않아야 할 초음파 둘이 만나는 자리에서 들리는 소리가 태어난 것입니다. 그는 유체역학의 기초인 라이트힐 방정식(Lighthill's Equation)을 적용해 비선형 매질 내 음향 산란 이론을 세웠고, 이것이 현대 초지향성 스피커와 수중 소나의 이론적 토대가 됩니다. 5편의 역사 연대표에서 본 '1960s Westervelt'가 바로 이 이야기입니다.

라이트힐이 1952년에 세운 식은 원래 제트 엔진의 소음이 왜 발생하는가를 설명하려던 것이었습니다. 그 식의 핵심 아이디어는 유체의 운동 자체를 '음향학적 등가 음원'으로 바꿔 쓰는 것입니다. 유체가 격렬하게 움직이는 영역을, 조용한 매질 속에 놓인 가상의 음원 분포로 치환해 버리는 발상입니다. 웨스터벨트가 한 일은 그 등가 음원의 자리에 난류가 아니라 강한 초음파 빔이 만드는 압력장을 대입한 것이었습니다. 항공 소음을 풀려고 만든 도구가 지향성 스피커의 이론적 토대가 된 셈입니다.

당시로서는 이 발상이 상식에 어긋났습니다. 음향학의 기본 전제는 소리는 서로를 통과할 뿐 서로를 바꾸지 않는다는 중첩 원리였고, 두 소리가 만나 제3의 소리를 낳는다는 것은 그 전제를 정면으로 부정하는 주장이었기 때문입니다. 웨스터벨트의 이론이 하는 일은 그 예외가 언제, 얼마나 일어나는지를 정량화한 것입니다.

공기의 두 얼굴 — 선형과 비선형

PAA를 이해하는 열쇠는 공기가 소리 에너지의 크기에 따라 다르게 행동한다는 사실입니다.

• 선형성(Linearity) — 예측 가능한 잔잔함 : 소리 에너지가 작을 때 공기는 입력된 신호를 왜곡 없이 정비례로 전달합니다. 우리가 듣는 대부분의 소리는 이 영역에 있고, 이때는 여러 소리가 겹쳐도 서로를 바꾸지 않습니다(중첩 원리).
• 비선형성(Nonlinearity) — 강력한 에너지의 왜곡 : 음압이 극도로 커지면 공기의 압축과 팽창이 더 이상 대칭이 아닙니다. 파형이 일그러지면서 원래 없던 새로운 주파수 성분이 태어납니다.

전통 음향학이 지키던 중첩 원리를 '깨는' 두 번째 영역이 PAA의 무대입니다. 다만 오해하기 쉬운 지점이 있습니다 — 선형과 비선형은 서로 다른 두 종류의 공기가 아닙니다. 공기는 항상 비선형이고, 다만 음압이 작을 때 그 비선형 항이 무시할 만큼 작아 선형처럼 보일 뿐입니다. 일상 대화의 60dB 음압에서도 비선형 성분은 존재합니다. 단지 너무 작아서 아무도 눈치채지 못할 뿐입니다.

왜 비선형이 생기는가 — 음속이 진폭을 탄다

파형이 일그러지는 이유는 놀랍도록 단순합니다. 소리의 각 부분이 서로 다른 속도로 나아가기 때문입니다. 원인은 두 겹입니다.

• 매질 자체의 비선형(상태방정식 항) — 공기를 압축하면 밀도만 오르는 것이 아니라 강성도 함께 오릅니다. 압축된 부분은 원래보다 단단해져 음속이 빨라집니다.
• 대류 항 — 압축된 부분의 공기 알갱이는 파동의 진행 방향으로 실제로 밀려 움직입니다. 그 위에 얹힌 파동은 '움직이는 바닥' 위를 달리므로, 지면 기준 속도가 그만큼 더해집니다.

둘을 합치면 한 지점의 국소 음속은 다음과 같이 쓰입니다.

c(u) = c₀ + β·u　(u = 입자 속도, β = 비선형 계수, 공기에서 β ≈ 1.2)

여기서 β는 매질의 상태방정식에서 나오는 값이고, 공기의 경우 B/A ≈ 0.4로부터 β = 1 + B/2A ≈ 1.2가 됩니다. 실제로 이 효과가 얼마나 되는지 계산해 보면 감이 잡힙니다. 입자 속도는 u = p/(ρ₀c₀)이므로, 음압 레벨별로 정리하면 다음과 같습니다.

음압 레벨	음압 p	입자 속도 u	음속 변화 β·u	c₀ 대비 변화율
120dB	20.0Pa	0.048m/s	0.058m/s	0.017%
130dB	63.2Pa	0.153m/s	0.184m/s	0.054%
140dB	200.0Pa	0.484m/s	0.581m/s	0.169%
150dB	632.5Pa	1.531m/s	1.837m/s	0.535%

표에서 눈여겨볼 것은 변화율이 터무니없이 작다는 사실입니다. 140dB이라는 극단적인 음압에서도 음속 차이는 0.17%에 불과합니다. 그런데도 파형이 눈에 띄게 일그러지는 이유는, 이 미세한 속도 차이가 거리를 따라 계속 누적되기 때문입니다. 마루가 골보다 아주 조금 빠르게 달리는 상태로 수 미터를 가면, 마루가 앞의 골을 조금씩 따라잡아 파형의 앞면이 가팔라집니다. 이것이 파형 첨예화(waveform steepening)입니다.

파형 첨예화에서 충격까지 — 거리가 만드는 왜곡

첨예화가 끝까지 진행되면 파형의 앞면이 수직에 가까워지고, 이 지점을 충격 형성(shock formation)이라 부릅니다. 처음 충격이 형성되는 거리는 다음 관계로 추정합니다.

x̄ = ρ₀c₀³ / (β · ω · p₀)　(ω = 2πf, p₀ = 음압 진폭)

식이 말하는 바는 세 가지입니다. 음압이 클수록, 주파수가 높을수록, 비선형 계수가 클수록 충격은 가까이서 형성됩니다. 40kHz 공기 중에서 음압별로 계산하면 이렇게 나옵니다. 함께 적은 흡수 길이는 4편의 흡수 계수 1.318dB/m에서 구한 값(진폭이 1/e로 줄어드는 거리 6.59m)입니다.

음압 레벨(40kHz)	충격 형성 거리 x̄	흡수 길이 대비	해석
120dB	8.07m	0.82	충격이 형성되기 전에 흡수로 사라짐
125dB	4.54m	1.45	경계 영역 — 약한 왜곡만 축적
130dB	2.55m	2.58	실용 영역 — 충분한 비선형, 파형은 아직 완만
140dB	0.81m	8.17	강한 비선형 — 방사면 근처에서 이미 왜곡
150dB	0.26m	25.83	포화 영역 — 에너지가 고조파로 새어 나감

세 번째 열의 비율은 골드베르그 수라 불리는 지표로, 비선형이 이기는가 흡수가 이기는가를 재는 값입니다. 1보다 작으면 왜곡이 자라기 전에 공기가 먼저 에너지를 먹어 치우고, 1보다 크면 왜곡이 자랄 시간을 법니다. 파라메트릭 스피커가 130dB 안팎의 높은 음압을 요구하는 이유가 여기 있습니다. 소리를 크게 내려는 것이 아니라, 비선형이 흡수를 이기는 영역으로 들어가야만 공기가 복조기 역할을 하기 때문입니다.

동시에 이 표는 이 기술의 상한도 알려 줍니다. 음압을 무한정 올리면 충격이 방사면 코앞에서 형성되고, 그때부터는 에너지가 우리가 원하는 차 주파수가 아니라 고조파 쪽으로 빠져나갑니다. 즉 더 세게 때린다고 계속 좋아지지 않습니다. 비선형은 원하는 성분과 원하지 않는 성분을 가리지 않고 함께 키웁니다.

자가 복조 — 공기 스스로 소리를 복원한다

구체적인 숫자로 보면 마법이 걷힙니다. 트랜스듀서가 두 초음파 — 반송파 f1 = 40kHz와 변조된 파 f2 = 41kHz — 를 강하게 쏘면, 비선형 공기 속에서 두 파가 상호작용하며 새 주파수들이 생깁니다.

• 합 주파수(f1+f2 = 81kHz) — 여전히 초음파입니다. 들리지 않고, 높은 주파수라 금방 감쇠해 사라집니다.
• 차 주파수(f2−f1 = 1kHz) — 가청 주파수입니다. 귀에 들리는 소리가 공기 한복판에서 태어납니다.

음성 신호로 변조된 초음파를 쏘면 이 차 주파수 성분이 곧 원래 음성이 됩니다. 스피커가 소리를 만드는 것이 아니라 공기가 초음파를 스스로 복조(Self-Demodulation)해 소리를 재생하는 것입니다. 2편에서 직관으로만 설명했던 그 현상의 정체입니다.

다만 실제로 태어나는 성분은 두 개가 아닙니다. 2차 비선형은 두 신호의 곱에 해당하므로 모든 조합이 한꺼번에 생성됩니다. 위 조건에서 나오는 성분을 정리하면 다음과 같습니다.

생성 성분	주파수	가청 여부	운명
차 주파수 (f2−f1)	1kHz	들림	우리가 원하는 신호 — 흡수가 거의 없어 멀리 감
합 주파수 (f1+f2)	81kHz	안 들림	흡수가 커 빠르게 소멸
2차 고조파 (2f1)	80kHz	안 들림	같음 — 반송파 에너지의 손실분
2차 고조파 (2f2)	82kHz	안 들림	같음
원 반송파 (f1, f2)	40·41kHz	안 들림	1m당 1.3dB로 줄며 가상 음원을 계속 공급

표가 보여 주는 구조가 이 기술의 핵심입니다. 생성된 성분 중 오직 차 주파수만 살아남습니다. 나머지는 전부 초음파 대역이라 공기가 빠르게 흡수해 버립니다. 즉 공기는 소리를 만들어 내는 동시에 불필요한 성분을 걸러 내는 저역 통과 필터 역할까지 합니다. 설계자가 필터를 달지 않아도, 매질이 알아서 정리해 주는 셈입니다.

가상 엔드파이어 어레이 — 수 미터짜리 보이지 않는 스피커

그렇다면 왜 이렇게 만든 소리는 그토록 좁게 나아갈까요? 비선형 상호작용은 빔이 지나가는 경로 전체에서 연속적으로 일어납니다. 즉 초음파 빔이 통과하는 수 미터의 공기 기둥이 통째로 가상 음원의 열(Virtual Source Column)이 됩니다. 음향학에서는 음원을 진행 방향으로 일렬로 늘어세운 구조를 엔드파이어 어레이(End-fire Array)라 부르는데, 물리적 스피커는 손바닥만 하지만 공기 중에 수 미터짜리 가상 어레이가 만들어지는 셈입니다. 4편에서 본 지향성 조건(D≫λ)을 떠올려 보세요 — 음원이 길수록 빔은 날카로워집니다. 그 결과가 빔 폭 1~3°의 초지향성 가청음입니다.

이 가상 어레이의 크기를 실제로 재 보면 왜 그렇게 좁은 빔이 나오는지가 더 분명해집니다. 어레이의 길이는 반송파가 살아 있는 구간, 즉 흡수 길이로 정해집니다. 40kHz라면 약 6.6m입니다. 어레이의 굵기는 초음파 빔의 지름에 갇힙니다. 지름 300mm 패널이라면 빔이 1.7°로 좁으므로, 가상 음원 기둥은 대략 지름 0.3m · 길이 6.6m의 가늘고 긴 원기둥이 됩니다. 종횡비로 따지면 22 대 1입니다.

여기에 이 기술의 진짜 트릭이 숨어 있습니다. 같은 1kHz를 지름 300mm 스피커로 직접 내보내면 빔폭은 67.5°입니다(5편의 식으로 계산). 방 전체로 퍼지는 소리입니다. 그런데 같은 1kHz가 가상 어레이에서 태어나면 몇 도짜리 빔이 됩니다. 같은 주파수, 같은 파장인데 지향성이 전혀 다릅니다. 차이를 만드는 것은 소리의 주파수가 아니라 그 소리를 만든 음원의 기하학입니다. 가청음이 300mm짜리 판이 아니라 6.6m짜리 기둥에서 태어났기 때문에, 회절의 법칙이 6.6m 기준으로 적용되는 것입니다.

이 관점은 실무적인 함의도 가집니다. 반송파가 벽에 막히거나 흡수가 큰 조건이면 가상 어레이의 길이가 짧아지고, 그만큼 가청음의 빔도 넓어집니다. 4편에서 본 습도에 따른 흡수 변동이 음압뿐 아니라 지향성에도 영향을 준다는 뜻입니다. 장마철에 소리가 답답해지는 동시에 덜 모이는 것은 같은 원인의 두 얼굴입니다.

공짜는 없다 — 변환 효율이라는 대가

여기까지 읽으면 완벽한 기술처럼 보이지만, PAA는 대단히 비효율적인 방식입니다. 2차 비선형은 본질적으로 작은 효과이고, 우리가 쓰는 것은 그 작은 효과의 산물이기 때문입니다. 앞의 표에서 130dB이라는 값이 나온 것을 다시 보십시오. 일반 스피커가 대화 수준 소리를 내는 데 필요한 음압보다 훨씬 큰 초음파를 쏟아부어야, 그중 일부가 가청음으로 바뀝니다.

게다가 2편에서 본 자기복조 관계 — 가청 성분이 포락선 제곱의 2차 미분에 비례한다는 사실 — 이 저역에 추가 부담을 지웁니다. 2차 미분은 주파수 두 배마다 12dB씩 이득이 커지므로, 뒤집어 말하면 주파수가 낮아질수록 12dB/oct로 손해입니다. 1kHz에서 잘 나오던 소리가 100Hz에서는 그 기울기대로 40dB 낮아진다는 뜻입니다. 파라메트릭 스피커가 목소리 전달에는 훌륭하지만 음악 재생, 특히 저역에서 약한 이유가 여기 있습니다.

정리하면 이 기술은 세 가지를 맞바꿉니다.

• 지향성을 얻고 효율을 잃습니다. 좁은 빔의 대가는 낮은 변환 효율입니다.
• 고역을 얻고 저역을 잃습니다. 12dB/oct의 기울기는 물리에서 나오므로 회로로 완전히 되돌릴 수 없습니다(보정하려면 그만큼 초음파 출력을 더 밀어야 하고, 그러면 왜곡과 발열이 늘어납니다).
• 거리를 얻고 조건 의존성을 얻습니다. 온습도에 따라 음압도 지향성도 함께 흔들립니다.

흔한 오해와 한계

• "두 초음파가 만나는 지점에서만 소리가 난다" — 아닙니다. 상호작용은 두 파가 겹쳐 있는 모든 지점에서 일어나며, 그 결과가 경로를 따라 누적됩니다. 특정 교차점에서 소리가 '점화'되는 것이 아니라, 빔 전체가 하나의 긴 음원입니다. 이 오해는 두 개의 빔을 교차시켜 원하는 좌표에만 소리를 띄우겠다는 잘못된 설계로 이어지곤 합니다.
• "공기가 비선형이면 일반 스피커 소리도 왜곡될 것" — 원리적으로는 맞지만 실제로는 무시할 수준입니다. 앞의 표에서 보듯 120dB에서도 음속 변화는 0.017%이고, 가청 주파수는 파장이 길어 같은 거리에서 훨씬 적은 위상 누적을 겪습니다. 비선형이 실용적 의미를 갖는 것은 높은 주파수와 높은 음압이 동시에 성립할 때뿐입니다.
• "초음파를 두 개 쓰니 스피커도 두 개 필요하다" — 아닙니다. 실제 구현은 하나의 트랜스듀서 배열에서 변조된 단일 신호를 방사합니다. 40kHz와 41kHz는 그 변조 신호의 측파대를 설명하기 위한 편의적 분해일 뿐입니다(2편의 AM 변조 설명 참조).
• "진공에 가까울수록 잘 될 것" — 정반대입니다. 비선형 상호작용은 매질이 있어야 일어납니다. 공기가 희박해지면 밀도 ρ₀가 줄어 방사 자체가 어려워지고, 만들어지는 가청음도 함께 줄어듭니다. 이 기술은 공기가 있어야만 성립하는 기술입니다.

정리 — PAA의 세 기둥

1. 비선형 가정 — 강한 음압에서 공기는 새로운 주파수를 만드는 비선형 매질이 된다.
2. 초음파 반송파 — 가청 신호를 40kHz대 초음파에 실어 강하게 방사한다.
3. 가상 어레이 — 경로 전체가 음원이 되어, 차 주파수 가청음이 1~3° 빔으로 태어난다.

세 기둥을 하나의 문장으로 압축하면 이렇습니다 — 파장이 짧은 파동으로 빔을 만들고, 그 빔 안에서 파장이 긴 소리를 낳는다. 빔을 만드는 파장과 사람이 듣는 파장을 분리했기 때문에, 손바닥만 한 장치가 미터급 파장의 소리를 몇 도짜리 빔으로 보낼 수 있습니다. 5편에서 비교한 다른 방식들이 끝내 넘지 못한 벽을 이 기술만 넘은 이유입니다.

다음 편은 이 현상을 지배하는 수식들 — Berktay의 원거리 해, Westervelt 방정식, KZK 방정식 — 을 공학자의 눈높이에서 읽어봅니다. 수식이 무섭지 않게, 각 식이 '무엇을 알려주는 도구인지'를 중심으로 다룹니다.

시리즈 안내

「지향성 스피커의 과학」은 아래 순서로 이어집니다.

1. 지향성 스피커란 무엇인가 — 소리의 손전등
2. 들리지 않는 소리에 소리를 싣다 — 동작 원리 첫걸음
3. 지향성 스피커 활용 사례 — 전시·안전·리테일·오피스
4. 초음파란 무엇인가 — 정의·종류·전파 특성
5. 왜 초음파인가 — 생성 원리와 응용 지도
6. 공기가 스피커가 되는 마법 — PAA 비선형 음향 (이번 편)
7. 이후: PAA 이론 심화, 빔포밍, 압전 트랜스듀서, 나이퀴스트, 변조, 신호처리

이 시리즈는 초음파 지향성 음향 기술을 직접 연구·정리한 자체 강의 자료를 블로그 형식으로 재구성한 것입니다. 도판은 해당 자료에서 발췌했습니다.

참고 자료

• P. J. Westervelt, "Parametric Acoustic Array," JASA 35(4), 535 (1963) : 파라메트릭 어레이 이론의 원전 — 본문 전체의 이론적 출발점
• M. J. Lighthill, "On sound generated aerodynamically I. General theory," Proc. R. Soc. A 211, 564 (1952) : 유체 운동을 등가 음원으로 치환하는 라이트힐 방정식 — 웨스터벨트 이론의 토대
• H. O. Berktay, "Possible exploitation of non-linear acoustics in underwater transmitting applications," J. Sound Vib. 2(4), 435 (1965) : 자기복조 성분이 포락선 제곱의 2차 미분에 비례한다는 관계 — 본문 12dB/oct 저역 손실의 근거
• "Parameter of Nonlinearity in Fluids," JASA 32(6), 719 (1960) : 매질의 비선형 계수 B/A 정의와 측정 — 본문 β = 1 + B/2A ≈ 1.2 의 근거
• "Experimental investigation of a characteristic shock formation distance in finite-amplitude sound," Proc. Meet. Acoust. 12, 045002 (2011) : 충격 형성 거리 x̄ = ρ₀c₀³/(βωp₀) 의 실험적 검증 — 본문 충격 거리 표의 계산식
• H. E. Bass et al., "Atmospheric absorption of sound: Further developments," JASA 97(1), 680 (1995) : 40kHz 흡수 계수 1.318dB/m와 흡수 길이 6.59m 계산의 근거
• M. Yoneyama et al., "The audio spotlight: An application of nonlinear interaction of sound waves to a new type of loudspeaker design," JASA 73(5), 1532 (1983) : 공기 중 파라메트릭 어레이로 가청음을 만든 최초 보고
• T. Kamakura et al., Electron. Commun. Jpn. 74(9), 76 (1991) : 공기 중 파라메트릭 음원의 방사 특성 — 가상 음원 열의 실측적 근거
• 파라메트릭 어레이 스피커 리뷰 (오픈 액세스) : 자기복조·가상 어레이·변환 효율을 함께 정리한 개관 문헌
• US 4,823,908 — Directional loudspeaker system (1989) : 초음파 반송파를 이용한 지향성 음향 재생 구현 특허
• Nonlinear acoustics — Wikipedia : 파형 첨예화·충격 형성·골드베르그 수의 개념 정리