지향성 스피커의 과학 #07 — PAA 이론 심화: Berktay·Westervelt·KZK

6편에서 공기가 스스로 소리를 복조한다는 사실까지 왔습니다. 이번 편은 그 현상을 지배하는 수학 — Berktay의 원거리 해, Westervelt 방정식, KZK 방정식 — 을 다룹니다. 겁먹을 필요는 없습니다. 목표는 유도가 아니라, 각 수식이 어떤 질문에 답하는 도구인지를 읽어내는 것입니다. 그리고 이번 편에서는 한 걸음 더 나아가, 그 식에 실제 숫자를 넣어 40kHz 반송파가 만들어 내는 소리의 크기까지 직접 계산해 봅니다.

공기가 하는 계산 — E²과 두 번의 미분

비선형 공기가 초음파에 하는 일은 놀랍게도 두 단계의 수학으로 요약됩니다.

1. 제곱의 법칙(E²) — 강한 에너지로 성질이 변한 공기는 초음파 신호의 포락선(Envelope)을 제곱한 것에 반응합니다.
2. 이계도함수(∂²/∂t²) — 그리고 그 제곱된 포락선의 가속도(시간에 대한 두 번 미분)에 비례하는 음압을 만들어냅니다.

결과: 공기가 초음파의 포락선을 제곱하고 두 번 미분해 가청 음파를 재생합니다. 자연이 아날로그 계산기처럼 동작하는 셈입니다.

왜 하필 '제곱'과 '두 번 미분'일까요. 공기의 상태 방정식은 압력과 밀도 사이에 완벽한 직선 관계를 주지 않습니다. 이 어긋남을 압력에 대한 급수로 펼치면 1차항 다음에 압력의 제곱에 비례하는 항이 나오고, 그 계수를 묶은 것이 비선형 계수 β입니다(공기 β ≈ 1.2). 소리를 만드는 것이 이 두 번째 항이므로 복조음의 근원은 처음부터 제곱일 수밖에 없습니다. 한편 비선형 항이 공기 중에 만드는 것은 분포된 음원(source)이고, 파동 방정식은 그 음원을 시간으로 두 번 미분한 형태로 음압에 되돌려 줍니다. 요컨대 제곱은 매질의 성질에서, 이계도함수는 파동 방정식의 구조에서 옵니다.

Berktay의 원거리 해 — 엔지니어의 공식

위 관찰을 정량화한 것이 1965년 Berktay의 원거리 해(Far-field Solution)입니다. 핵심 결론 두 가지만 기억하면 됩니다.

• P_d(t) ∝ −∂²/∂t² E²(t) — 원거리에서 복원되는 가청 음압은 초음파 포락선 제곱의 이계도함수에 비례합니다. '무엇이 들리게 되는가'를 정확히 알려주는 식입니다.
• P_d ∝ P₀², P_d ∝ 1/α — 가청음은 초음파 음압의 제곱에 비례하고, 감쇠 계수 α에 반비례합니다. 초음파를 세게 쏠수록 소리는 제곱으로 커지고, 감쇠가 클수록 가상 어레이가 짧아져 소리가 작아집니다.

비례 기호를 등호로 바꾸면 다음과 같습니다. 반지름 a인 원형 음원이 축상 거리 r에 만드는 복조 음압은

P_d(r, t) = β · a² · P₀² / (16 · ρ₀ · c₀⁴ · α · r) × ∂²/∂t² [ E²(t − r/c₀) ]

기호는 β 비선형 계수(공기 1.2), ρ₀ 밀도(1.21kg/m³), c₀ 음속(343m/s), α 반송파의 흡수 계수(Np/m), P₀ 음원면 초음파 음압, a 음원 반지름입니다. 두 가지가 눈에 띕니다. 분모에 c₀의 4제곱이 있어, 공기(343m/s)가 물(1,500m/s)보다 변환에 훨씬 유리한 이유가 이 항 하나로 설명됩니다. 그리고 흡수 계수 α가 분모에 있습니다 — 흡수는 보통 손실이지만 여기서는 소리를 만드는 구간의 길이를 정하는 값이라, 흡수가 작을수록 오히려 소리가 커집니다.

이 식은 설계 도구이기도 합니다. 포락선의 제곱이 들린다는 것은 입력 신호를 그대로 실으면 왜곡이 생긴다는 뜻이므로, 미리 신호를 보정(전처리)해야 한다는 결론이 나옵니다 — 이 주제는 13·14편의 변조·신호처리에서 다시 만납니다.

식에 숫자를 넣어 본다

추상적인 비례식은 감이 오지 않습니다. 실제 값을 넣어 보겠습니다. 조건은 지름 100mm(a = 50mm) 원형 배열, 반송파 40kHz, 음원면 초음파 음압 130dB SPL(63.2Pa), 변조 지수 m = 1인 단일 톤, 관측 거리 1m입니다. 흡수 계수는 국제표준 계산식(20℃·습도 50%·1기압)으로 40kHz에서 1.32dB/m = 0.152Np/m입니다. 아래 값은 모두 진폭 기준으로 계산했습니다(실효값 환산 시 일괄 3dB 낮아집니다).

가청 주파수	복조 음압	음압 레벨(1m)	한 옥타브 차이
200Hz	0.0009Pa	33.4dB	기준
500Hz	0.0058Pa	49.3dB	+12dB/옥타브
1kHz	0.0233Pa	61.3dB	+12dB
2kHz	0.0932Pa	73.4dB	+12dB
4kHz	0.3728Pa	85.4dB	+12dB

표에서 세 가지를 읽을 수 있습니다.

• 변환 효율은 낮다 — 130dB의 초음파를 쏘아 1kHz에서 얻는 것이 61dB입니다. 음압으로는 1/2,700 수준입니다. 소리를 만드는 것이 진동판이 아니라 공기의 2차 항이므로 어쩔 수 없는 대가입니다.
• 기울기가 정확히 옥타브당 12dB — 이계도함수가 주파수의 제곱(ω²)으로 작용하므로 20log₁₀(2²) = 12.04dB입니다. 2편에서 말한 '저역이 약하다'는 한계의 정확한 출처가 이 항입니다. 100Hz까지 내려가면 1kHz 대비 40dB가 더 빠집니다.
• 반송파를 6dB 올리면 소리는 12dB 커진다 — P_d ∝ P₀²이므로 그렇습니다. 출력을 키우는 가장 효율적인 손잡이가 반송파 음압이라는 뜻이지만, 초음파 노출 권고 기준과 트랜스듀서의 내압이 이 손잡이의 상한을 정합니다.

변조 지수 m이 곧 왜곡률이다

Berktay 식의 무서운 점은 왜곡률을 손으로 계산할 수 있게 해 준다는 것입니다. 포락선을 E(t) = 1 + m·cos(ωt)로 두고 제곱하면

E² = (1 + m²/2) + 2m·cos(ωt) + (m²/2)·cos(2ωt)

여기에 시간 미분을 두 번 하면 기본파 항은 2m·ω², 2차 고조파 항은 (m²/2)·(2ω)² = 2m²·ω²이 됩니다. 두 값의 비는 놀랍도록 간단합니다.

2차 고조파 / 기본파 = m

변조 지수가 곧 2차 고조파 비율입니다. 신호를 크게 실을수록 그만큼 정직하게 왜곡이 따라옵니다.

변조 지수 m	2차 고조파 비율	레벨 차	전고조파왜곡(전체 신호 기준)
0.2	0.20	−14.0dB	19.6%
0.5	0.50	−6.0dB	44.7%
0.8	0.80	−1.9dB	62.5%
1.0	1.00	0dB	70.7%

일반 스피커였다면 THD 1%도 문제 삼는데, 여기서는 온전한 변조에서 70%가 나옵니다. 부품이 나빠서가 아니라 원리가 그렇습니다. 그래서 실무의 해법은 부품을 바꾸는 것이 아니라 식을 거꾸로 미리 푸는 것입니다. 보내려는 포락선에 미리 제곱근을 씌워 E(t) = √(1 + m·s(t))로 만들면, 공기가 제곱하는 순간 제곱근이 상쇄되어 E² = 1 + m·s(t)가 되고 2차 고조파가 원리적으로 0이 됩니다. 사전 왜곡(pre-distortion)이 이 기술에서 선택이 아니라 필수 부품인 이유입니다.

가상 어레이는 얼마나 긴가

Berktay 식이 성립하려면 초음파 빔이 '가늘고 곧은 관'처럼 나아가고, 그 관을 따라 소리가 조금씩 쌓여야 합니다. 이 가상의 관을 엔드파이어 어레이(end-fire array)라고 부릅니다. 길이는 두 값 중 짧은 쪽이 정합니다.

• 흡수 길이 1/α — 반송파가 1/e로 줄어드는 거리입니다. 40kHz·20℃·50%RH에서 약 6.6m입니다. 25kHz라면 11.9m, 100kHz라면 2.7m로 짧아집니다.
• 레일리 거리 R₀ = πa²/λ — 근거리음장이 끝나고 빔이 퍼지기 시작하는 지점입니다. 지름 100mm·40kHz에서 약 0.92m입니다.

두 값을 비교하면 이 설정에서는 빔이 퍼지기 시작한 뒤에도 한참 동안 소리가 계속 만들어진다는 뜻이 됩니다. 그래서 실제 지향성 스피커의 가상 음원은 스피커 앞 수 미터 구간에 길게 분포합니다. '소리가 스피커에서 나오는 것이 아니라 공기 기둥에서 나온다'는 표현이 은유가 아닌 이유입니다.

비선형성이 흡수보다 우세한지 판정하는 무차원 수도 있습니다. 골드버그 수(Gol'dberg number) Γ는 충격파 형성 거리와 흡수 길이의 비로, Γ > 1이면 비선형 효과가 먼저 나타납니다. 위 조건(40kHz, 130dB)에서 충격파 형성 거리는 2.56m, Γ ≈ 2.6입니다. 반송파를 120dB로 낮추면 Γ ≈ 0.81로 떨어져 흡수가 먼저 이깁니다 — 음압을 충분히 올리지 않으면 파라메트릭 어레이가 애초에 작동하지 않는다는 것을 이 숫자 하나가 말해 줍니다.

세 수식의 관계 — 마스터, 요약본, 정밀 도구

• Westervelt 방정식 — '마스터 방정식' : 초음파가 나아가며 겪는 모든 비선형 변화를 기술합니다. 정확하지만 계산이 매우 무거워 슈퍼컴퓨터급 연산이 필요한 경우가 많습니다.
• Berktay의 해 — '실용적 근사식' : Westervelt 방정식을 원거리 조건에서 단순하게 풀어낸 요약본입니다. 실제 제품 설계 현장에서 주로 쓰입니다.
• KZK 방정식 — '정밀 분석 도구' : Khokhlov-Zabolotskaya-Kuznetsov. 회절·흡수·비선형성이라는 3대 요소를 동시에 고려합니다. 빔 패턴을 정밀하게 시뮬레이션할 때 꺼내는 도구입니다.

세 식의 관계를 조금 더 정확히 말하면, KZK는 Westervelt에 포물선 근사(parabolic approximation)를 적용한 것입니다. 빔이 축 방향으로는 빠르게, 가로 방향으로는 천천히 변한다고 가정해 가로 방향 회절을 라플라시안의 가로 성분만으로 다루는 방식입니다. 이 가정 덕분에 계산량이 극적으로 줄지만, 대가로 축에서 크게 벗어난 방향(대략 20° 이상)의 예측 정확도가 떨어집니다. Berktay 해는 여기서 한 걸음 더 나아가 빔이 퍼지지 않는다고 보고 축상 원거리만 남긴 것입니다.

구분	Westervelt	KZK	Berktay 원거리 해
다루는 물리	비선형·흡수·회절(전 방향)	비선형·흡수·회절(축 근방)	비선형·흡수만
핵심 가정	2차 비선형까지	포물선 근사	빔 비확산 + 원거리
유효 각도	제한 없음	축에서 대략 20° 이내	축상
계산 비용	매우 큼(3차원 수치해석)	중간(진행 방향 행진법)	손계산 가능
주 용도	이론적 완전성·검증	빔 패턴·근거리음장 예측	출력·왜곡 견적, 전처리 설계

셋은 경쟁 관계가 아니라 해상도가 다른 지도입니다. 빠른 견적은 Berktay로, 정밀 검증은 KZK로, 이론적 완전성은 Westervelt로 — 실무는 이렇게 씁니다. KZK를 시간 영역에서 푸는 수치 기법이 1980~90년대에 정리되면서, 오늘날은 개인용 워크스테이션에서도 빔 패턴 시뮬레이션이 가능해졌습니다.

스펙트럼으로 다시 보는 가청음 생성

1kHz 음성을 40kHz 반송파에 진폭 변조(AM)하면 주파수 영역에는 세 개의 봉우리가 생깁니다 — 반송파 40kHz, 아래 측파대(LSB) 39kHz, 위 측파대(USB) 41kHz. 6편에서 본 'f1과 f2의 상호작용'의 일반형이 바로 이것입니다. 공기의 비선형 혼합이 이웃한 성분들의 차 주파수(1kHz)를 만들어내고, 그것이 우리가 듣는 소리가 됩니다. 시간 영역(포락선의 제곱·미분)과 주파수 영역(측파대의 차 주파수)은 같은 현상의 두 표현입니다.

주파수 영역으로 보면 앞 절의 왜곡도 곧바로 설명됩니다. 40kHz와 41kHz가 섞여 1kHz를 만드는 동시에, 39kHz와 41kHz도 섞여 2kHz를 만듭니다. 이 2kHz가 바로 2차 고조파입니다. 두 측파대의 크기는 각각 반송파의 m/2이므로 곱해지면 m²/4에 비례하고, 반송파와 측파대의 곱은 m/2에 비례합니다. 비를 취하면 다시 m이 나옵니다 — 시간 영역 계산과 정확히 같은 답입니다.

Berktay 해가 통하지 않는 곳 — 한계와 흔한 오해

• 원거리 전용이다 — 이 식은 가상 어레이가 끝난 뒤를 기술합니다. 스피커 코앞(레일리 거리 안쪽)의 음압을 이 식으로 계산하면 실제보다 과대평가합니다. 근거리 예측은 KZK의 몫입니다.
• 축상 전용이다 — 빔 폭이나 옆으로 새는 양은 알려 주지 않습니다. '가청음의 지향성이 왜 반송파보다 넓은가' 같은 질문에는 답하지 못합니다.
• 포화를 모른다 — P_d ∝ P₀²는 무한정 성립하지 않습니다. 반송파가 충분히 세지면 초음파 자체가 고조파로 에너지를 흘려보내며 포화하고, 그 뒤로는 반송파를 올려도 가청음이 비례해 커지지 않습니다. 골드버그 수가 1을 크게 넘는 영역에서 특히 그렇습니다.
• '비선형이니 아무 소리나 만들 수 있다'는 오해 — 만들어지는 것은 이미 포락선에 실려 있던 성분과 그 조합뿐입니다. 없던 정보가 생기지는 않습니다.
• '공기 중에서만 되는 현상'이라는 오해 — 이 이론은 애초에 수중 소나를 위해 만들어졌습니다. 물은 β가 3.5로 크지만 c₀가 4배 이상이라 c₀⁴ 항 때문에 변환 효율이 낮고, 대신 흡수가 훨씬 작아 가상 어레이가 수십~수백 미터로 길어집니다. 같은 식, 다른 상수, 전혀 다른 설계 결론입니다.

정리

PAA 이론의 뼈대는 세 문장입니다. 공기는 강한 초음파의 포락선 제곱을 두 번 미분해 들려준다(Berktay). 그 모든 비선형 과정의 완전한 기술은 Westervelt 방정식이 맡는다. 회절·흡수까지 아우르는 정밀 시뮬레이션은 KZK가 담당한다. 여기에 이번 편에서 얻은 숫자를 덧붙이면 — 옥타브당 12dB의 저역 부족, 변조 지수와 같은 크기의 2차 고조파, 반송파 6dB당 가청음 12dB, 6.6m짜리 가상 어레이 — 이 기술의 설계 여지가 어디에 있는지가 선명해집니다. 다음 편에서는 이렇게 만들어진 소리를 원하는 방향으로 조준하는 기술 — 페이즈드 어레이와 빔포밍으로 넘어갑니다.

시리즈 안내

「지향성 스피커의 과학」은 아래 순서로 이어집니다.

1. 지향성 스피커란 무엇인가 — 소리의 손전등
2. 들리지 않는 소리에 소리를 싣다 — 동작 원리 첫걸음
3. 지향성 스피커 활용 사례 — 전시·안전·리테일·오피스
4. 초음파란 무엇인가 — 정의·종류·전파 특성
5. 왜 초음파인가 — 생성 원리와 응용 지도
6. 공기가 스피커가 되는 마법 — PAA 비선형 음향
7. PAA 이론 심화 — Berktay·Westervelt·KZK (이번 편)
8. 이후: 빔포밍, 압전 트랜스듀서, 나이퀴스트, 변조, 신호처리

이 시리즈는 초음파 지향성 음향 기술을 직접 연구·정리한 자체 강의 자료를 블로그 형식으로 재구성한 것입니다. 도판은 해당 자료에서 발췌했습니다.

참고 자료

• P. J. Westervelt, "Parametric Acoustic Array," JASA 35(4), 535 (1963) : 마스터 방정식의 원전 — 두 초음파의 비선형 상호작용이 차주파수 파동을 만든다는 결과
• H. O. Berktay, "Possible exploitation of non-linear acoustics in underwater transmitting applications," JSV 2(4), 435 (1965) : 본문 원거리 해 P_d ∝ ∂²/∂t²E²의 원전
• H. O. Berktay & B. V. Smith, "End-fire array of virtual sound sources arising from the interaction of sound waves," Electron. Lett. 1(6), 202 (1965) : 가상 엔드파이어 어레이 개념의 원전
• S. I. Aanonsen, T. Barkve, J. N. Tjøtta & S. Tjøtta, "Distortion and harmonic generation in the nearfield of a finite amplitude sound beam," JASA 75(3), 749 (1984) : KZK 방정식의 대표적 수치해석 — 근거리음장 왜곡·고조파 생성
• Y.-S. Lee & M. F. Hamilton, "Time-domain modeling of pulsed finite-amplitude sound beams," JASA 97(2), 906 (1995) : 시간 영역 KZK 해법 — 오늘날 빔 시뮬레이션의 표준 기법
• Yu. Kostin & G. Panasenko, "Khokhlov–Zabolotskaya–Kuznetsov-Type Equation: Nonlinear Acoustics in Heterogeneous Media," SIAM J. Math. Anal. 40(2), 699 (2008) : KZK형 방정식의 수학적 위상 — 포물선 근사의 유도와 유효 범위
• M. F. Hamilton & D. T. Blackstock (eds.), Nonlinear Acoustics (Springer, 2024) : 비선형 계수 β, 충격파 형성 거리, 골드버그 수 Γ의 정의 — 본문 Γ ≈ 2.6 계산의 근거
• M. Yoneyama et al., "The audio spotlight: An application of nonlinear interaction of sound waves to a new type of loudspeaker design," JASA 73(5), 1532 (1983) : 공기 중 파라메트릭 스피커의 최초 구현 실험
• W.-S. Gan, J. Yang & T. Kamakura, "A review of parametric acoustic array in air," Applied Acoustics 73(12), 1211 (2012) : 공기 중 PAA의 이론·구현·왜곡 보정을 정리한 리뷰
• H. E. Bass, L. C. Sutherland & A. J. Zuckerwar, "Atmospheric absorption of sound: Further developments," JASA 97(1), 680 (1995) : 본문 40kHz 1.32dB/m(0.152Np/m)·흡수 길이 6.6m 계산의 근거식(ISO 9613-1)
• Nonlinear acoustics — Wikipedia : 상태 방정식의 2차 항과 비선형 계수 β의 개관