지향성 스피커의 과학 #14 — 신호처리 최적화: 대역폭과 변조 지수

시리즈의 마지막 편입니다. 부품은 모두 조립됐습니다 — 이제 이 시스템을 상용 제품의 품질로 끌어올리는 신호처리의 마무리 손질이 남았습니다. 키워드는 두 개, 전처리(Pre-processing)와 변조 지수(Modulation Index)입니다.

반송파는 부품이 아니라 소프트웨어다

오해하기 쉬운 지점부터 바로잡습니다. 지향성 스피커의 반송파와 변조된 파는 물리 부품이 윙윙거리며 만드는 것이 아니라, DSP(디지털 신호 처리 장치)나 MCU 안의 소프트웨어 알고리즘이 수학적으로 생성합니다. AM 변조의 실체는 곱셈 한 줄입니다 — 오디오 신호 × 40kHz 반송파. 그 결과물의 포락선(Envelope)에 오디오 정보가 담기고, 11편에서 본 192kHz 샘플링 위에서 이 모든 연산이 돌아갑니다.

이 사실에는 실무적인 함의가 있습니다. 트랜스듀서와 증폭기를 바꾸지 않고도 펌웨어 갱신만으로 음질이 달라진다는 뜻입니다. 13편에서 본 변조 방식의 선택, 이 편에서 볼 전처리 필터와 변조 지수 관리는 모두 코드 안에 있습니다. 반대로 말하면 하드웨어가 정해 준 한계를 소프트웨어로 넘을 수는 없습니다. 이번 편의 절반은 그 한계선이 정확히 어디에 그어져 있는지를 숫자로 확인하는 작업입니다.

단계별 신호처리 — 전처리가 절반이다

실제 제품의 신호 경로를 따라가 보면, 품질을 좌우하는 대목은 변조 이전의 전처리입니다.

1. 제곱근 처리(Square Root) — 7편의 Berktay 법칙을 기억하시나요? 공기는 포락선의 제곱을 소리로 되돌립니다. 그렇다면 미리 신호에 제곱근을 걸어두면, 공기의 제곱과 상쇄되어 원음이 복원됩니다. 공기라는 비선형 복조기의 왜곡을 수학으로 선제 보상하는, 이 시스템에서 가장 우아한 한 수입니다.
2. 이퀄라이저(EQ) — 저역 깎아내기 — 13편에서 본 트랜스듀서 대역폭(BW)의 한계 때문에, 반송파에서 멀리 떨어진 저음 성분은 어차피 제대로 실리지 못하고 왜곡만 남깁니다. 재생 불가능한 저역을 미리 깎아 왜곡과 에너지 낭비를 줄입니다.
3. DSP 내부 처리 → 출력 — 발진기(OSC)가 40kHz 반송파를 만들고, 변조기가 전처리된 오디오와 곱셈하고, 앰프가 전압을 증폭해 트랜스듀서 어레이가 방사합니다. 나머지는 공기가 알아서 합니다.

여기서 두 번째 항목이 이상하게 들릴 수 있습니다. 저음을 살리려고 애써야 할 것 같은데 오히려 깎아낸다고 하니까요. 그 이유를 정면으로 보겠습니다.

저역의 벽 — 12dB/oct를 되돌리는 값

Berktay의 관계식은 복원음이 포락선 제곱의 2차 미분이라고 말합니다. 미분 한 번은 주파수에 비례하는 가중치를 뜻하므로, 두 번 미분하면 주파수의 제곱이 곱해집니다. 진폭이 주파수의 제곱에 비례한다는 것은 데시벨로 옮기면 옥타브당 12dB의 기울기입니다. 즉 파라메트릭 스피커는 태생적으로 저음이 옥타브마다 12dB씩 빠지는 구조입니다. 1편의 '소리의 손전등'이 유독 가늘고 날카로운 음색으로 들리는 근본 원인이 여기 있습니다.

그렇다면 EQ로 저역을 밀어 올려 평탄하게 만들면 되지 않을까요? 값을 계산해 보면 왜 그것이 불가능한지 즉시 드러납니다. 5kHz를 기준점으로 잡고, 어떤 주파수를 같은 레벨로 맞추려면 몇 dB를 밀어야 하는지 구하면 이렇게 됩니다.

목표 주파수	기준(5kHz)에서 내려간 옥타브	필요한 부스트	포락선 진폭 배수
4,000Hz	0.32	+3.9 dB	1.6배
2,000Hz	1.32	+15.9 dB	6.2배
1,000Hz	2.32	+27.9 dB	25배
500Hz	3.32	+39.9 dB	98배
200Hz	4.64	+55.7 dB	611배
100Hz	5.64	+67.7 dB	2,434배

표의 값은 12 × log₂(5000 ÷ f) 한 식으로 계산했고, 마지막 열은 그 dB를 전압비로 환산한 것입니다. 여기서 포락선 진폭에는 상한이 있다는 사실이 결정적으로 작용합니다. 변조 지수 m은 1을 넘을 수 없으므로 포락선이 가질 수 있는 여유는 기껏해야 몇 배 수준인데, 1kHz를 평탄하게 맞추려면 25배, 100Hz라면 2,434배가 필요합니다. 100Hz를 살리려고 EQ를 밀면 다른 모든 대역이 그 아래로 밀려나 실질 출력이 68dB 줄어드는 셈입니다.

그래서 실무의 선택은 '평탄하게 만들기'가 아니라 '어디서 포기할지 정하기'입니다. 대개 200~300Hz 아래는 아예 잘라 내고, 그 위 한두 옥타브만 부분적으로 보정합니다. 잘라 내지 않으면 그 성분은 소리가 되지 못한 채 포락선의 헤드룸만 잡아먹고, 결과적으로 들리는 대역의 음량을 깎습니다. 저역을 깎는 EQ가 '저음을 버리는' 조치가 아니라 '중고역의 음량을 되찾는' 조치인 이유입니다. 저역 인지를 심리음향적으로 보강하거나 서브어레이별 등화로 응답을 다듬는 연구가 이어지는 것도 이 벽이 물리적으로 단단하기 때문입니다.

대역을 잘라 내는 결단 — 왜 음성 대역인가

고역 쪽에도 벽이 있습니다. 13편에서 본 대로 트랜스듀서의 사용 가능한 폭은 BW = f_r / Q이고, 양측파대 변조는 오디오 상한의 두 배를 먹습니다. 40kHz 반송파에서 오디오 상한을 어디에 두느냐에 따라 요구되는 Q는 이렇게 달라집니다.

오디오 상한	점유 스펙트럼	필요 대역폭	허용되는 최대 Q	현실성
20kHz (풀 오디오)	20~60kHz	40kHz	1.00	사실상 불가능
16kHz	24~56kHz	32kHz	1.25	불가능에 가까움
8kHz (광대역 음성)	32~48kHz	16kHz	2.50	저Q 소자로 가능
4kHz (표준 음성)	36~44kHz	8kHz	5.00	여유 있음

13편의 Q 표와 함께 읽으면 그림이 완성됩니다. 고감도를 얻으려고 Q를 20~30으로 올린 소자는 대역이 1.3~2kHz뿐이라 오디오 상한이 1kHz도 되지 않습니다. 반대로 오디오 20kHz를 다 실으려면 Q를 1까지 낮춰야 하는데, 그러면 음압이 무너져 파라메트릭 어레이가 성립하지 않습니다. 이 두 벽 사이에서 실제로 열려 있는 문은 음성 대역입니다.

다행히 음성은 대역을 잘라도 잘 견딥니다. 음성 명료도 연구의 고전은 명료도에 기여하는 정보가 넓은 주파수 범위에 분산되어 있되 중역에 크게 몰려 있음을 보였고, 전화망이 300~3,400Hz만으로 100년 가까이 대화를 매개해 온 것이 그 실증입니다. 지향성 스피커가 안내 방송·전시 해설·경고음 쪽에서 먼저 자리를 잡은 것은 마케팅의 결과가 아니라 물리가 허락한 대역이 마침 사람 목소리의 대역이었기 때문입니다.

변조 지수 m — 그릇을 얼마나 채울 것인가

마지막 손잡이는 변조 지수(Modulation Index, m)입니다. 정의는 단순합니다 — 오디오 신호 진폭과 반송파 진폭의 비율. 직관적으로는 초음파라는 '그릇'에 오디오라는 '내용물'을 얼마나 꽉 채워 보내느냐의 척도입니다.

• m이 낮으면(예: 0.1) — 초음파는 강하게 나가지만 그 안의 오디오 변화폭이 미미해, 복조된 소리가 작게 들립니다.
• m이 높으면(예: 1.0) — 반송파의 진폭을 최대한 활용해 소리가 크고 명확해집니다.

여기서 지향성 스피커 음량의 공식이 나옵니다 — 체감 음량 = 초음파 음압(SPL) + 변조 지수(m). 복조된 가청음의 음압은 초음파 음압의 제곱과 m에 비례하기 때문에, 트랜스듀서가 130dB의 초음파를 내뿜어도 m이 0에 가까우면 아무 소리도 들리지 않습니다. 출력을 올리기 전에 m부터 채우는 것이 옳은 순서입니다.

그런데 m을 키우면 대가가 따라옵니다. 그 대가는 왜곡만이 아니라 대역폭이기도 합니다. 제곱근 전처리를 건 포락선 √(1 + m·s)는 원 신호에 없던 고조파를 만들어 내는데, 그 고조파가 몇 차까지 유의미하게 살아 있는지가 m에 따라 달라지기 때문입니다. 오디오 상한 4kHz, 고조파를 −40dB까지 유효하다고 볼 때 계산하면 이렇게 됩니다.

변조 지수 m	제곱근 포락선의 유효 고조파	DSB 점유 대역	허용 최대 Q	복원음 상대 레벨	보정 없을 때 THD
0.3	2차	16kHz	2.50	−10.5 dB	28.7%
0.5	2차	16kHz	2.50	−6.0 dB	44.7%
0.7	3차	24kHz	1.67	−3.1 dB	57.3%
0.9	4차	32kHz	1.25	−0.9 dB	66.9%
1.0	8차	64kHz	0.62	0 dB (기준)	70.7%

표를 만드는 데 쓴 계산은 세 가지입니다. 유효 고조파 차수는 √(1 + m·cos θ)를 푸리에 급수로 펼쳐 기본파 대비 −40dB 위에 남는 마지막 차수를 센 값이고, 점유 대역은 그 차수 × 4kHz × 2(양측파대), 허용 Q는 40kHz ÷ 점유 대역입니다. 마지막 열은 7편의 관계식 m / √(1 + m²)입니다.

이 표가 이번 편에서 가장 중요합니다. m = 0.5에서 1.0으로 올리면 소리는 6dB 커지지만, 요구 대역은 16kHz에서 64kHz로 네 배가 됩니다. 그리고 그 64kHz를 감당하려면 Q가 0.62 이하여야 하는데, 그런 트랜스듀서는 초음파 음압을 낼 수 없습니다. 즉 m을 끝까지 채우는 설계는 존재할 수 없고, 실무의 착지점은 대개 m = 0.5~0.7 부근입니다. 소리 6dB를 포기하는 대신 대역과 왜곡을 함께 사는 거래입니다.

m 최적화 — 게인, 정규화, 컴프레서

그렇다고 m을 무작정 키울 수도 없습니다. m > 1이 되는 순간 과변조(Over-modulation)로 파형이 찌그러집니다. 실무의 목표는 '피크에서 정확히 m = 1.0'이고, 사다리는 세 단입니다.

1. 입력 게인 설정 — 프리앰프나 DSP 입력단에서 오디오 크기를 조절해, 신호의 피크가 m = 1.0에 닿도록 기준을 잡습니다.
2. 정규화(Normalization) — 게인 고정만으로는 조용한 곡에서 m이 낮아지고 시끄러운 곡에서 찢어집니다. 펌웨어가 입력 신호의 최대치를 실시간으로 디지털 풀 스케일에 근접시킵니다.
3. 컴프레서/리미터(Compressor/Limiter) — 순간 피크를 눌러 과변조를 막으면서 평균 m은 높게 유지합니다. 방송 오디오의 라우드니스 관리와 같은 원리입니다.

세 번째 항목이 왜 그렇게 중요한지는 크레스트 팩터(피크와 평균의 비)로 설명됩니다. 피크를 m = 1.0에 맞춰 놓으면 평균 변조 지수는 크레스트 팩터만큼 아래로 내려가고, 복원음의 평균 레벨도 똑같이 내려갑니다.

크레스트 팩터	전형적인 소재	평균 변조 지수	평균 복원음 레벨
18 dB	무압축 클래식 녹음	0.126	−18.0 dB
12 dB	일반 음악 트랙	0.251	−12.0 dB
9 dB	가볍게 다듬은 내레이션	0.355	−9.0 dB
6 dB	방송용으로 압축한 음성	0.501	−6.0 dB
3 dB	강하게 리미팅한 안내 방송	0.708	−3.0 dB

평균 변조 지수는 10의 (−크레스트 팩터 ÷ 20)제곱으로 계산했습니다. 표가 말하는 바는 분명합니다 — 같은 하드웨어에서 크레스트 팩터를 18dB에서 6dB로 줄이면 체감 음량이 12dB 오릅니다. 증폭기를 키우지 않고, 트랜스듀서를 늘리지 않고, 오직 신호처리만으로 얻는 12dB입니다. 지향성 스피커에서 컴프레서가 '음질을 해치는 타협'이 아니라 핵심 부품인 이유가 이것입니다. 물론 압축을 과하게 걸면 음악의 표현력이 사라지므로, 안내 방송은 강하게·배경 음악은 약하게 하는 식으로 용도에 따라 값을 나눕니다.

지연 예산 — 실시간이라는 조건

지금까지의 처리는 모두 입력이 들어오는 즉시 끝나야 합니다. 각 단계가 얼마나 시간을 쓰는지 예산을 짜 보면 다음과 같습니다. 필터 지연은 선형위상 FIR 기준으로 (탭 수 − 1) ÷ 2 ÷ 표본화율로 계산했습니다.

처리 단계	조건	지연
입력 AD 변환	시그마-델타 데시메이션 필터	약 1.00 ms
저역 보정 EQ	선형위상 FIR 512탭 @ 48kHz	5.31 ms
블록 처리 버퍼	256 샘플 @ 192kHz	1.33 ms
힐베르트 변환(SSB 계열)	257탭 @ 192kHz	0.67 ms
제곱근 후 대역 제한	129탭 @ 192kHz	0.33 ms
PWM 변조·출력단	비교기 + 게이트 드라이버	0.05 ms
합계		8.70 ms

이 8.7ms를 어떻게 봐야 할까요. 음속 343m/s 기준으로 소리가 3m를 날아가는 데 걸리는 시간이 정확히 8.7ms입니다. 10m 떨어진 청취자라면 공기를 지나오는 데만 29.2ms가 걸립니다. 즉 지향성 스피커의 신호처리 지연은 스피커를 3m 뒤로 물린 것과 같은 정도이며, 대부분의 설치 환경에서 전파 지연에 묻힙니다.

다만 두 경우에는 예산을 다시 짜야 합니다. 하나는 영상과 함께 쓰는 전시로, 화면과 소리의 어긋남은 사람이 민감하게 알아차립니다. 다른 하나는 말하는 사람이 자기 목소리를 듣는 확성으로, 이때는 지연이 발화를 방해합니다. 두 경우 모두 가장 무거운 항목인 저역 보정 EQ를 선형위상 FIR에서 최소위상 IIR로 바꾸면 5.31ms의 대부분을 회수할 수 있습니다. 위상 특성을 내주고 지연을 사는 거래입니다.

이 기술이 못 하는 것

시리즈를 닫기 전에, 지금까지의 숫자가 그리는 한계선을 한 번에 모아 둡니다.

• 본격적인 저음은 낼 수 없습니다. 12dB/oct 기울기는 변조 방식이나 신호처리로 없앨 수 있는 성질이 아니라 Berktay 관계식 자체에서 나옵니다. 100Hz를 평탄하게 맞추는 데 2,434배의 진폭이 필요하다는 계산이 그 벽의 높이입니다.
• 풀 대역 오디오는 담기지 않습니다. 20kHz 오디오를 40kHz 반송파에 실으려면 Q ≤ 1인 트랜스듀서가 필요한데, 그런 소자로는 파라메트릭 어레이에 필요한 음압이 나오지 않습니다.
• 왜곡을 0으로 만들 수는 없습니다. 제곱근 전처리는 이론상 왜곡을 정확히 상쇄하지만, 그 효과는 트랜스듀서가 내주는 대역폭만큼만 실현됩니다. 13편의 계산에서 대역을 자르는 순간 왜곡이 8~13%로 되살아난 것이 그 증거입니다.
• 큰 소리는 비쌉니다. 복원음은 초음파 음압의 제곱에 비례하므로, 가청음을 6dB 올리려면 초음파를 3dB만 올리면 될 것 같지만 실제로는 소자 수와 구동 전력이 함께 늘어나고, 그 전력의 대부분은 소리가 되지 못한 채 열이 됩니다.

이 목록은 기술을 깎아내리려는 것이 아닙니다. 오히려 반대로, 어디에 쓰면 이기는 기술인지를 정확히 알려 줍니다. 음성 대역의 정보를 좁은 각도로 정확히 배달하는 일 — 그것이 이 기술이 다른 어떤 스피커보다 잘하는 일입니다.

시리즈를 마치며 — 14편의 여정

「지향성 스피커의 과학」이 여기서 완결됩니다. 돌아보면 하나의 문장이었습니다 — 소리를 들리지 않는 초음파에 실어(변조·신호처리), 좁은 빔으로 조준해 쏘면(어레이·빔포밍), 공기가 스스로 소리를 복원한다(PAA). 1편의 '소리의 손전등'이라는 비유 뒤에 이만큼의 물리·수학·공학이 쌓여 있습니다.

각 편이 답한 질문을 한 줄씩 되짚으면 이렇습니다. 1~3편은 무엇인가·어디에 쓰는가를 다뤘고, 4~5편은 반송파로 초음파를 고른 이유를, 6~7편은 공기가 어떻게 복조기가 되는지를(Westervelt와 Berktay), 8편은 그 빔을 어떻게 조준하는지를, 9~10편은 초음파를 만드는 소자의 물성과 공진을, 11편은 그것을 디지털로 다루는 표본화의 규칙을, 12~13편은 정보를 싣는 문법과 전략을, 그리고 이번 14편은 그 전부를 하나의 신호 사슬로 조율하는 방법을 다뤘습니다.

이 여정에서 반복해 나타난 구조가 하나 있습니다. 거의 모든 이득이 다른 무언가를 팔아서 산 것이라는 점입니다. 좁은 빔은 낮은 효율을 대가로 얻고, 높은 음압은 좁은 대역을 대가로 얻고, 큰 소리는 넓은 점유 대역을 대가로 얻습니다. 좋은 설계란 이 저울들 중 지금 이 용도에서 무엇을 내주어도 되는지를 아는 일이었습니다. 시리즈 내내 표를 많이 그린 이유가 그것입니다 — 저울의 양쪽에 실제 숫자가 적혀 있어야 결정을 내릴 수 있기 때문입니다.

긴 여정을 함께해 주셔서 감사합니다. 시리즈는 완결이지만, 관련 기술의 새로운 소식과 실험은 계속 이 블로그에서 다룰 예정입니다.

시리즈 전체 목차

1. 지향성 스피커란 무엇인가 — 소리의 손전등
2. 들리지 않는 소리에 소리를 싣다 — 동작 원리 첫걸음
3. 지향성 스피커 활용 사례 — 전시·안전·리테일·오피스
4. 초음파란 무엇인가 — 정의·종류·전파 특성
5. 왜 초음파인가 — 생성 원리와 응용 지도
6. 공기가 스피커가 되는 마법 — PAA 비선형 음향
7. PAA 이론 심화 — Berktay·Westervelt·KZK
8. 소리를 조준하다 — 페이즈드 어레이와 빔포밍
9. 압전 효과 — 전기가 소리가 되는 순간
10. 초음파 트랜스듀서 설계 — 공진과 배치
11. 나이퀴스트 정리 — 디지털 소리의 출발점
12. 변조 입문 — AM·FM·PWM 한눈 비교
13. 지향성 스피커의 변조 전략 — 공진과 PWM
14. 신호처리 최적화 — 대역폭과 변조 지수 (이번 편, 완결)

이 시리즈는 초음파 지향성 음향 기술을 직접 연구·정리한 자체 강의 자료를 블로그 형식으로 재구성한 것입니다. 도판은 해당 자료에서 발췌했습니다.

참고 자료

• H. O. Berktay, "Possible exploitation of non-linear acoustics in underwater transmitting applications," JSV 2(4), 435 (1965) : 복원음이 포락선 제곱의 2차 미분이라는 관계식. 본문 12dB/oct 저역 기울기와 제곱근 전처리의 근거
• H. O. Berktay, D. J. Leahy, "Farfield performance of parametric transmitters," JASA 55(3), 539 (1974) : 포락선 근사가 유효한 원거리 조건과 그 한계
• M. Yoneyama et al., "The audio spotlight: An application of nonlinear interaction of sound waves to a new type of loudspeaker design," JASA 73(5), 1532 (1983) : 공기 중 파라메트릭 스피커의 최초 구현 실험과 저역 부족의 실측
• T. Kamakura et al., "Parametric loudspeaker — characteristics of acoustic field and suitable modulation of carrier ultrasound," Electron. Commun. Jpn. 74(9), 76 (1991) : 반송파 변조 방식별 음장·왜곡 비교
• T. D. Kite, J. T. Post, M. F. Hamilton, "Parametric array in air: Distortion reduction by preprocessing," JASA 103(5), 2871 (1998) : 전처리로 왜곡을 줄이는 접근의 원전. 본문 제곱근 전처리 절의 근거
• P. Ji, W.-S. Gan, E.-L. Tan, J. Yang, "Performance analysis on recursive single-sideband amplitude modulation for parametric loudspeakers," IEEE ICME, 748 (2010) : 전처리 계열 변조의 왜곡·대역 성능 분석
• F. Karnapi et al., "Method to enhance the low-frequency perception from a parametric array loudspeaker," JASA 110(5), 2741 (2001) : 물리적으로 재생이 어려운 저역을 인지 측면에서 보강하려는 시도
• C. Zhang et al., "Sub-array equalization technique for the parametric array loudspeaker to reduce nonlinear distortion," INTER-NOISE 263, 1497 (2021) : 어레이를 나눠 등화해 응답과 왜곡을 함께 다루는 기법
• J. Yang et al., "Preprocessing Methods of Parametric Array Loudspeakers," in Parametric Array Loudspeakers, 109 (2025) : 제곱근·SSB·반복 보정 등 전처리 기법 전반의 정리
• N. R. French, J. C. Steinberg, "Factors Governing the Intelligibility of Speech Sounds," JASA 19(1), 90 (1947) : 명료도에 대한 주파수 대역별 기여를 정량화한 고전. 본문 음성 대역 절의 근거
• H. E. Bass et al., "Atmospheric absorption of sound: Further developments," JASA 97(1), 680 (1995) : 40kHz 반송파가 거리에 따라 잃는 에너지의 계산 근거
• US 5,889,870 — Acoustic heterodyne device and method : 초음파 반송파에 오디오를 실어 가청음을 얻는 방식의 특허